3.204 \(\int \frac{\tanh ^4(x)}{(a+b \text{sech}^2(x))^{3/2}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=86 \[ \frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \tanh (x)}{\sqrt{a-b \tanh ^2(x)+b}}\right )}{a^{3/2}}+\frac{\tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \tanh (x)}{\sqrt{a-b \tanh ^2(x)+b}}\right )}{b^{3/2}}-\frac{(a+b) \tanh (x)}{a b \sqrt{a-b \tanh ^2(x)+b}} \]

[Out]

ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]]/b^(3/2) + ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]
^2]]/a^(3/2) - ((a + b)*Tanh[x])/(a*b*Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2])

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.252348, antiderivative size = 86, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 8, number of rules used = 8, integrand size = 17, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.471, Rules used = {4141, 1975, 470, 523, 217, 203, 377, 206} \[ \frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \tanh (x)}{\sqrt{a-b \tanh ^2(x)+b}}\right )}{a^{3/2}}+\frac{\tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \tanh (x)}{\sqrt{a-b \tanh ^2(x)+b}}\right )}{b^{3/2}}-\frac{(a+b) \tanh (x)}{a b \sqrt{a-b \tanh ^2(x)+b}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Tanh[x]^4/(a + b*Sech[x]^2)^(3/2),x]

[Out]

ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]]/b^(3/2) + ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]
^2]]/a^(3/2) - ((a + b)*Tanh[x])/(a*b*Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2])

Rule 4141

Int[((a_) + (b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_.)*((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> With[
{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Dist[ff/f, Subst[Int[((d*ff*x)^m*(a + b*(1 + ff^2*x^2)^(n/2))^p)/(1 + ff^
2*x^2), x], x, Tan[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, p}, x] && IntegerQ[n/2] && (IntegerQ[m/2] ||
EqQ[n, 2])

Rule 1975

Int[(u_)^(p_.)*(v_)^(q_.)*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[(e*x)^m*ExpandToSum[u, x]^p*ExpandToSum[v, x]^q
, x] /; FreeQ[{e, m, p, q}, x] && BinomialQ[{u, v}, x] && EqQ[BinomialDegree[u, x] - BinomialDegree[v, x], 0]
&&  !BinomialMatchQ[{u, v}, x]

Rule 470

Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> -Simp[(a*e^(2
*n - 1)*(e*x)^(m - 2*n + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q + 1))/(b*n*(b*c - a*d)*(p + 1)), x] + Dist[e^(2
*n)/(b*n*(b*c - a*d)*(p + 1)), Int[(e*x)^(m - 2*n)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q*Simp[a*c*(m - 2*n + 1) +
(a*d*(m - n + n*q + 1) + b*c*n*(p + 1))*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] &
& IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[m - n + 1, n] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, n, p, q, x]

Rule 523

Int[((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))/(((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^(n_)]), x_Symbol] :> Dist[f/b, I
nt[1/Sqrt[c + d*x^n], x], x] + Dist[(b*e - a*f)/b, Int[1/((a + b*x^n)*Sqrt[c + d*x^n]), x], x] /; FreeQ[{a, b,
c, d, e, f, n}, x]

Rule 217

Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Subst[Int[1/(1 - b*x^2), x], x, x/Sqrt[a + b*x^2]] /; FreeQ[{a,
b}, x] &&  !GtQ[a, 0]

Rule 203

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTan[(Rt[b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[b, 2]), x] /;
FreeQ[{a, b}, x] && PosQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || GtQ[b, 0])

Rule 377

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Subst[Int[1/(c - (b*c - a*d)*x^n), x]
, x, x/(a + b*x^n)^(1/n)] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[n*p + 1, 0] && IntegerQ[n]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\tanh ^4(x)}{\left (a+b \text{sech}^2(x)\right )^{3/2}} \, dx &=\operatorname{Subst}\left (\int \frac{x^4}{\left (1-x^2\right ) \left (a+b \left (1-x^2\right )\right )^{3/2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )\\ &=\operatorname{Subst}\left (\int \frac{x^4}{\left (1-x^2\right ) \left (a+b-b x^2\right )^{3/2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )\\ &=-\frac{(a+b) \tanh (x)}{a b \sqrt{a+b-b \tanh ^2(x)}}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{a+b-a x^2}{\left (1-x^2\right ) \sqrt{a+b-b x^2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )}{a b}\\ &=-\frac{(a+b) \tanh (x)}{a b \sqrt{a+b-b \tanh ^2(x)}}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\left (1-x^2\right ) \sqrt{a+b-b x^2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )}{a}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\sqrt{a+b-b x^2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )}{b}\\ &=-\frac{(a+b) \tanh (x)}{a b \sqrt{a+b-b \tanh ^2(x)}}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1-a x^2} \, dx,x,\frac{\tanh (x)}{\sqrt{a+b-b \tanh ^2(x)}}\right )}{a}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1+b x^2} \, dx,x,\frac{\tanh (x)}{\sqrt{a+b-b \tanh ^2(x)}}\right )}{b}\\ &=\frac{\tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \tanh (x)}{\sqrt{a+b-b \tanh ^2(x)}}\right )}{b^{3/2}}+\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \tanh (x)}{\sqrt{a+b-b \tanh ^2(x)}}\right )}{a^{3/2}}-\frac{(a+b) \tanh (x)}{a b \sqrt{a+b-b \tanh ^2(x)}}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.381261, size = 169, normalized size = 1.97 \[ -\frac{\text{sech}^3(x) (a \cosh (2 x)+a+2 b) \left (\sqrt{a} \left (2 \sqrt{b} (a+b) \sinh (x)-\sqrt{2} a \sqrt{a \cosh (2 x)+a+2 b} \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{2} \sqrt{b} \sinh (x)}{\sqrt{a \cosh (2 x)+a+2 b}}\right )\right )-\sqrt{2} b^{3/2} \sqrt{a \cosh (2 x)+a+2 b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{2} \sqrt{a} \sinh (x)}{\sqrt{a \cosh (2 x)+a+2 b}}\right )\right )}{4 a^{3/2} b^{3/2} \left (a+b \text{sech}^2(x)\right )^{3/2}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Tanh[x]^4/(a + b*Sech[x]^2)^(3/2),x]

[Out]

-((a + 2*b + a*Cosh[2*x])*Sech[x]^3*(-(Sqrt[2]*b^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sinh[x])/Sqrt[a + 2*b + a*Cosh
[2*x]]]*Sqrt[a + 2*b + a*Cosh[2*x]]) + Sqrt[a]*(-(Sqrt[2]*a*ArcTan[(Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sinh[x])/Sqrt[a + 2*b + a*
Cosh[2*x]]]*Sqrt[a + 2*b + a*Cosh[2*x]]) + 2*Sqrt[b]*(a + b)*Sinh[x])))/(4*a^(3/2)*b^(3/2)*(a + b*Sech[x]^2)^(
3/2))

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.099, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{ \left ( \tanh \left ( x \right ) \right ) ^{4} \left ( a+b \left ({\rm sech} \left (x\right ) \right ) ^{2} \right ) ^{-{\frac{3}{2}}}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(tanh(x)^4/(a+b*sech(x)^2)^(3/2),x)

[Out]

int(tanh(x)^4/(a+b*sech(x)^2)^(3/2),x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\tanh \left (x\right )^{4}}{{\left (b \operatorname{sech}\left (x\right )^{2} + a\right )}^{\frac{3}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)^4/(a+b*sech(x)^2)^(3/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(tanh(x)^4/(b*sech(x)^2 + a)^(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 4.313, size = 14456, normalized size = 168.09 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)^4/(a+b*sech(x)^2)^(3/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/4*((a*b^2*cosh(x)^4 + 4*a*b^2*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*b^2*sinh(x)^4 + a*b^2 + 2*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^2 + 2
*(3*a*b^2*cosh(x)^2 + a*b^2 + 2*b^3)*sinh(x)^2 + 4*(a*b^2*cosh(x)^3 + (a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a
)*log((a*b^2*cosh(x)^8 + 8*a*b^2*cosh(x)*sinh(x)^7 + a*b^2*sinh(x)^8 - 2*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)^6 + 2*(14*a*b^2
*cosh(x)^2 - a*b^2 + b^3)*sinh(x)^6 + 4*(14*a*b^2*cosh(x)^3 - 3*(a*b^2 - b^3)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (a^3 + 4*a^
2*b + 9*a*b^2)*cosh(x)^4 + (70*a*b^2*cosh(x)^4 + a^3 + 4*a^2*b + 9*a*b^2 - 30*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)
^4 + 4*(14*a*b^2*cosh(x)^5 - 10*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)^3 + (a^3 + 4*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + a^3 +
2*(a^3 + 3*a^2*b)*cosh(x)^2 + 2*(14*a*b^2*cosh(x)^6 - 15*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)^4 + a^3 + 3*a^2*b + 3*(a^3 + 4
*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(b^2*cosh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x)*sinh(x)^5 + b^2*sinh(x)^6 - 3*
b^2*cosh(x)^4 + 3*(5*b^2*cosh(x)^2 - b^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*b^2*cosh(x)^3 - 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 - (a^2 + 4
*a*b)*cosh(x)^2 + (15*b^2*cosh(x)^4 - 18*b^2*cosh(x)^2 - a^2 - 4*a*b)*sinh(x)^2 - a^2 + 2*(3*b^2*cosh(x)^5 - 6
*b^2*cosh(x)^3 - (a^2 + 4*a*b)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2
- 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(2*a*b^2*cosh(x)^7 - 3*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)^5 + (a^3 + 4*a^2*b + 9*a*b
^2)*cosh(x)^3 + (a^3 + 3*a^2*b)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^6 + 6*cosh(x)^5*sinh(x) + 15*cosh(x)^4*sinh(x)^2 +
20*cosh(x)^3*sinh(x)^3 + 15*cosh(x)^2*sinh(x)^4 + 6*cosh(x)*sinh(x)^5 + sinh(x)^6)) - 2*(a^3*cosh(x)^4 + 4*a^3
*cosh(x)*sinh(x)^3 + a^3*sinh(x)^4 + a^3 + 2*(a^3 + 2*a^2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*a^3*cosh(x)^2 + a^3 + 2*a^2*b)*s
inh(x)^2 + 4*(a^3*cosh(x)^3 + (a^3 + 2*a^2*b)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-b)*log(-((a - b)*cosh(x)^4 + 4*(a - b)*c
osh(x)*sinh(x)^3 + (a - b)*sinh(x)^4 + 2*(a + 3*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a - b)*cosh(x)^2 + a + 3*b)*sinh(x)^2 + 2
*sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(-b)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(
cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((a - b)*cosh(x)^3 + (a + 3*b)*cosh(x))*sinh(x) + a - b)/(cosh
(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 + cosh(x)
)*sinh(x) + 1)) + (a*b^2*cosh(x)^4 + 4*a*b^2*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*b^2*sinh(x)^4 + a*b^2 + 2*(a*b^2 + 2*b^3)*c
osh(x)^2 + 2*(3*a*b^2*cosh(x)^2 + a*b^2 + 2*b^3)*sinh(x)^2 + 4*(a*b^2*cosh(x)^3 + (a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x))*sin
h(x))*sqrt(a)*log(-(a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sinh(x)^4 + 2*(a + b)*cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2
+ a + b)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*si
nh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(a*cosh(x)^3 + (a + b)*cosh(x))*sinh(x) +
a)/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*sqrt(2)*(a^2*b + a*b^2 - (a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^2 - 2*(a^
2*b + a*b^2)*cosh(x)*sinh(x) - (a^2*b + a*b^2)*sinh(x)^2)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^
2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(a^3*b^2*cosh(x)^4 + 4*a^3*b^2*cosh(x)*sinh(x)^3 + a^3*b^2*sinh(x)^4 + a^
3*b^2 + 2*(a^3*b^2 + 2*a^2*b^3)*cosh(x)^2 + 2*(3*a^3*b^2*cosh(x)^2 + a^3*b^2 + 2*a^2*b^3)*sinh(x)^2 + 4*(a^3*b
^2*cosh(x)^3 + (a^3*b^2 + 2*a^2*b^3)*cosh(x))*sinh(x)), 1/4*(4*(a^3*cosh(x)^4 + 4*a^3*cosh(x)*sinh(x)^3 + a^3*
sinh(x)^4 + a^3 + 2*(a^3 + 2*a^2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*a^3*cosh(x)^2 + a^3 + 2*a^2*b)*sinh(x)^2 + 4*(a^3*cosh(x)
^3 + (a^3 + 2*a^2*b)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*
sqrt(b)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/(a*cosh(x)^4 +
4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sinh(x)^4 + 2*(a + 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2 + a + 2*b)*sinh(x)^2 + 4*(a*co
sh(x)^3 + (a + 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + a)) + (a*b^2*cosh(x)^4 + 4*a*b^2*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*b^2*sinh(x)^4 +
a*b^2 + 2*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^2 + 2*(3*a*b^2*cosh(x)^2 + a*b^2 + 2*b^3)*sinh(x)^2 + 4*(a*b^2*cosh(x)^3 + (
a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a)*log((a*b^2*cosh(x)^8 + 8*a*b^2*cosh(x)*sinh(x)^7 + a*b^2*sinh(x)^8 -
2*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)^6 + 2*(14*a*b^2*cosh(x)^2 - a*b^2 + b^3)*sinh(x)^6 + 4*(14*a*b^2*cosh(x)^3 - 3*(a*b^2
- b^3)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (a^3 + 4*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x)^4 + (70*a*b^2*cosh(x)^4 + a^3 + 4*a^2*b + 9*a*b^
2 - 30*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(14*a*b^2*cosh(x)^5 - 10*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)^3 + (a^3 + 4*a^2*
b + 9*a*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + a^3 + 2*(a^3 + 3*a^2*b)*cosh(x)^2 + 2*(14*a*b^2*cosh(x)^6 - 15*(a*b^2 - b^3)
*cosh(x)^4 + a^3 + 3*a^2*b + 3*(a^3 + 4*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(b^2*cosh(x)^6 + 6*b^2
*cosh(x)*sinh(x)^5 + b^2*sinh(x)^6 - 3*b^2*cosh(x)^4 + 3*(5*b^2*cosh(x)^2 - b^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*b^2*cosh(x)^
3 - 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 - (a^2 + 4*a*b)*cosh(x)^2 + (15*b^2*cosh(x)^4 - 18*b^2*cosh(x)^2 - a^2 - 4*a*b)*s
inh(x)^2 - a^2 + 2*(3*b^2*cosh(x)^5 - 6*b^2*cosh(x)^3 - (a^2 + 4*a*b)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a)*sqrt((a*cosh(x
)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(2*a*b^2*cosh(x)^7 - 3*(a*b^2 -
b^3)*cosh(x)^5 + (a^3 + 4*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x)^3 + (a^3 + 3*a^2*b)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^6 + 6*cosh(x
)^5*sinh(x) + 15*cosh(x)^4*sinh(x)^2 + 20*cosh(x)^3*sinh(x)^3 + 15*cosh(x)^2*sinh(x)^4 + 6*cosh(x)*sinh(x)^5 +
sinh(x)^6)) + (a*b^2*cosh(x)^4 + 4*a*b^2*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*b^2*sinh(x)^4 + a*b^2 + 2*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh
(x)^2 + 2*(3*a*b^2*cosh(x)^2 + a*b^2 + 2*b^3)*sinh(x)^2 + 4*(a*b^2*cosh(x)^3 + (a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x
))*sqrt(a)*log(-(a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sinh(x)^4 + 2*(a + b)*cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2 +
a + b)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(
x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(a*cosh(x)^3 + (a + b)*cosh(x))*sinh(x) + a)/
(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*sqrt(2)*(a^2*b + a*b^2 - (a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^2 - 2*(a^2*b
+ a*b^2)*cosh(x)*sinh(x) - (a^2*b + a*b^2)*sinh(x)^2)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 -
2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(a^3*b^2*cosh(x)^4 + 4*a^3*b^2*cosh(x)*sinh(x)^3 + a^3*b^2*sinh(x)^4 + a^3*b
^2 + 2*(a^3*b^2 + 2*a^2*b^3)*cosh(x)^2 + 2*(3*a^3*b^2*cosh(x)^2 + a^3*b^2 + 2*a^2*b^3)*sinh(x)^2 + 4*(a^3*b^2*
cosh(x)^3 + (a^3*b^2 + 2*a^2*b^3)*cosh(x))*sinh(x)), -1/2*((a*b^2*cosh(x)^4 + 4*a*b^2*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*b^
2*sinh(x)^4 + a*b^2 + 2*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^2 + 2*(3*a*b^2*cosh(x)^2 + a*b^2 + 2*b^3)*sinh(x)^2 + 4*(a*b^2
*cosh(x)^3 + (a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*(b*cosh(x)^2 + 2*b*cosh(x)*sinh(x) + b*
sinh(x)^2 + a)*sqrt(-a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)
)/(a*b*cosh(x)^4 + 4*a*b*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*b*sinh(x)^4 - (a^2 + 3*a*b)*cosh(x)^2 + (6*a*b*cosh(x)^2 - a^2
- 3*a*b)*sinh(x)^2 - a^2 + 2*(2*a*b*cosh(x)^3 - (a^2 + 3*a*b)*cosh(x))*sinh(x))) + (a*b^2*cosh(x)^4 + 4*a*b^2*
cosh(x)*sinh(x)^3 + a*b^2*sinh(x)^4 + a*b^2 + 2*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^2 + 2*(3*a*b^2*cosh(x)^2 + a*b^2 + 2*b
^3)*sinh(x)^2 + 4*(a*b^2*cosh(x)^3 + (a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*
cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(-a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*si
nh(x) + sinh(x)^2))/(a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sinh(x)^4 + 2*(a + 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x
)^2 + a + 2*b)*sinh(x)^2 + 4*(a*cosh(x)^3 + (a + 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + a)) + (a^3*cosh(x)^4 + 4*a^3*cosh(x)*
sinh(x)^3 + a^3*sinh(x)^4 + a^3 + 2*(a^3 + 2*a^2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*a^3*cosh(x)^2 + a^3 + 2*a^2*b)*sinh(x)^2
+ 4*(a^3*cosh(x)^3 + (a^3 + 2*a^2*b)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-b)*log(-((a - b)*cosh(x)^4 + 4*(a - b)*cosh(x)*si
nh(x)^3 + (a - b)*sinh(x)^4 + 2*(a + 3*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a - b)*cosh(x)^2 + a + 3*b)*sinh(x)^2 + 2*sqrt(2)*
(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(-b)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2
- 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((a - b)*cosh(x)^3 + (a + 3*b)*cosh(x))*sinh(x) + a - b)/(cosh(x)^4 + 4
*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x)
+ 1)) - 2*sqrt(2)*(a^2*b + a*b^2 - (a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^2 - 2*(a^2*b + a*b^2)*cosh(x)*sinh(x) - (a^2*b + a
*b^2)*sinh(x)^2)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(a^3
*b^2*cosh(x)^4 + 4*a^3*b^2*cosh(x)*sinh(x)^3 + a^3*b^2*sinh(x)^4 + a^3*b^2 + 2*(a^3*b^2 + 2*a^2*b^3)*cosh(x)^2
+ 2*(3*a^3*b^2*cosh(x)^2 + a^3*b^2 + 2*a^2*b^3)*sinh(x)^2 + 4*(a^3*b^2*cosh(x)^3 + (a^3*b^2 + 2*a^2*b^3)*cosh
(x))*sinh(x)), -1/2*((a*b^2*cosh(x)^4 + 4*a*b^2*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*b^2*sinh(x)^4 + a*b^2 + 2*(a*b^2 + 2*b^3
)*cosh(x)^2 + 2*(3*a*b^2*cosh(x)^2 + a*b^2 + 2*b^3)*sinh(x)^2 + 4*(a*b^2*cosh(x)^3 + (a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x))*
sinh(x))*sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*(b*cosh(x)^2 + 2*b*cosh(x)*sinh(x) + b*sinh(x)^2 + a)*sqrt(-a)*sqrt((a*cosh(x
)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/(a*b*cosh(x)^4 + 4*a*b*cosh(x)*sinh(
x)^3 + a*b*sinh(x)^4 - (a^2 + 3*a*b)*cosh(x)^2 + (6*a*b*cosh(x)^2 - a^2 - 3*a*b)*sinh(x)^2 - a^2 + 2*(2*a*b*co
sh(x)^3 - (a^2 + 3*a*b)*cosh(x))*sinh(x))) + (a*b^2*cosh(x)^4 + 4*a*b^2*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*b^2*sinh(x)^4 +
a*b^2 + 2*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^2 + 2*(3*a*b^2*cosh(x)^2 + a*b^2 + 2*b^3)*sinh(x)^2 + 4*(a*b^2*cosh(x)^3 + (
a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(
-a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/(a*cosh(x)^4 + 4*a
*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sinh(x)^4 + 2*(a + 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2 + a + 2*b)*sinh(x)^2 + 4*(a*cosh(x
)^3 + (a + 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + a)) - 2*(a^3*cosh(x)^4 + 4*a^3*cosh(x)*sinh(x)^3 + a^3*sinh(x)^4 + a^3 + 2*
(a^3 + 2*a^2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*a^3*cosh(x)^2 + a^3 + 2*a^2*b)*sinh(x)^2 + 4*(a^3*cosh(x)^3 + (a^3 + 2*a^2*b)
*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(b)*sqrt((a*cosh
(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/(a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(x)
^3 + a*sinh(x)^4 + 2*(a + 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2 + a + 2*b)*sinh(x)^2 + 4*(a*cosh(x)^3 + (a + 2*b)*
cosh(x))*sinh(x) + a)) - 2*sqrt(2)*(a^2*b + a*b^2 - (a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^2 - 2*(a^2*b + a*b^2)*cosh(x)*sinh
(x) - (a^2*b + a*b^2)*sinh(x)^2)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + s
inh(x)^2)))/(a^3*b^2*cosh(x)^4 + 4*a^3*b^2*cosh(x)*sinh(x)^3 + a^3*b^2*sinh(x)^4 + a^3*b^2 + 2*(a^3*b^2 + 2*a^
2*b^3)*cosh(x)^2 + 2*(3*a^3*b^2*cosh(x)^2 + a^3*b^2 + 2*a^2*b^3)*sinh(x)^2 + 4*(a^3*b^2*cosh(x)^3 + (a^3*b^2 +
2*a^2*b^3)*cosh(x))*sinh(x))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\tanh ^{4}{\left (x \right )}}{\left (a + b \operatorname{sech}^{2}{\left (x \right )}\right )^{\frac{3}{2}}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)**4/(a+b*sech(x)**2)**(3/2),x)

[Out]

Integral(tanh(x)**4/(a + b*sech(x)**2)**(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\tanh \left (x\right )^{4}}{{\left (b \operatorname{sech}\left (x\right )^{2} + a\right )}^{\frac{3}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)^4/(a+b*sech(x)^2)^(3/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(tanh(x)^4/(b*sech(x)^2 + a)^(3/2), x)